aus einem differenzen kalkül der vertikalen. betrachten wir die senkrechten auf einer tangential ebene zu einer mannigfaltigkeit, einer n>2 sphäre zum beispiel. es sind strahlen, die entweder auf den mittel punkt verweisen oder auf den umgebenden raum. topologisch gesehen, geschlecht null voraus gesetzt, sind alle randlosen mannigfaltigkeiten homöomorph zu einer sphäre. ihr mittel punkt ist schnell gefunden, was finden wir außen. betrachten wir einen einzigen strahl, von der oberfläche ausgehend, der sich auf der sphärenoberfläche bewegt. die geschwindigkeiten entfernter punkte sind beliebig, einseitig begrenzt nur von der geschwindigkeit des ausgangspunktes auf der sphäre. denken wir uns diesen strahl als unendliche reihe, divergierend, zusammengesetzt. die differenzen der partialsummen verschwinden nicht, der reihe grenzwert uneigentlich, das zeigt uns ein integral test. übertragen wir dies in eine metapher. die vertikalen spannungen die wir aufbauen, denen wir folgen, um die sphäre nicht nur aus einer cartesischen sicht, näherung, zu betrachten, sondern zu überblicken, führte auf diverse konstruktionen des vertikalen, pyramiden, kirchtürme,..mit reihen versehen, die konvergieren, positivismus, materialismus..und natürlich die harmonische reihe, als kanonische form, die sich überall bewährt, auf allen punkten der sphäre, divergent, transzendent.